Показательная функция
Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция f (z) = ez,
обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением ;
Очевидно, что e0 = 1; при n = 1 значение П. ф. равно е - основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами: ?и
при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) П. ф. ex >0 и при n ? ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х ? - ¥ убывает быстрее любой степени 1/x: , ,
каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является логарифмическая функция: если w = ez, то z = lnw.
Рассматривается также П. ф. az при основаниях а >0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются П. ф. 2x, (1/2) x и т.д.]. П. ф. az связана с П. ф. ez (основной) соотношением az = ezlna.
П. ф. ex является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд: ,???? (1)
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.
Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу: ez = ex+iy = ex (cosy + isiny),??? (2)
связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения: , .
Функции ?ch y, ?= sh y
называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.
Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть ez+2pi= ez или e2pi= 1. Производная П. ф. равна самой функции: (ez)' = ez.
Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.