Векторное пространство

Векторное пространство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

Определение В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):

1) х + у = у + х (перестановочность сложения);

2)(х + у)+ z = x +(y + z) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x;
4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0,
5) 1 - х = х,
6) a(bx)=(ab) х (ассоциативность умножения);
7) (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя);
8) a(х + у)= aх + aу(распределительное свойство относительно векторного множителя).
Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1-3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает его в коммутативную группу). Выражение ? a₁e₁ + a₂e₂ + . + a_ne_n?? (1)
называется линейной комбинацией векторов e₁, e₂,..., e_n с коэффициентами a₁, a₂,..., a_n. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a₁, a₂,..., a_n отличен от нуля. Векторы e₁, e₂,..., e_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e₁, e₂,..., e_n равна нулевому вектору) векторы e₁, e₂,..., e_n называется линейно независимыми.
Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).
В. п. называется n-мepным (или имеет "размерность n"), если в нём существуют n линейно независимых элементов e₁, e₂,..., e_n, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В. п. называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного В. п. образуют базис этого пространства. Если e₁, e₂,..., e_n - базис В. п., то любой вектор хэтого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов: ? x = a₁e₁ + a₂e₂ +... + a_ne_n.
При этом числа a₁, a_2,..., a_n называются координатами вектора х в данном базисе.
Примеры В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, В. п. Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l ₁, l ₂,..., l _n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями: (l₁, l₂, ., l_n)+(m₁, m₂, ., m_n)=(l₁ + m₁, l₂ + m₂, ., l_n + m_n); ? a(l₁, l₂, ., l_n)=(al₁, al₂, ., al_n).
Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e₁ = (1, 0,..., 0), e₂ = (0, 1,..., 0),..., e_n = (0, 0,..., 1).
Множество R всех многочленов a₀ + a₁u + . + a_nuⁿ (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами a₀, a₁,..., a_n с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует В. п. Многочлены 1, u, u²,..., uⁿ (при любом n) линейно независимы в R, поэтому R - бесконечномерное В. п.
Многочлены степени не выше n образуют В. п. размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u²,..., uⁿ.
Подпространства В. п. В. п. R' называется подпространством R, если R' Í R (то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v Î r' и для каждых двух векторов v₁ и v₂ (v₁, v₂ Î R') вектор lv (при любом l) и вектор v₁ + v₂ один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v₁, v₂ как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов x₁, x₂,... x_p называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a₁x₁ + a₂x₂ + . + a_px_p. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁ будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁. Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x₁ и x₂. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка векторов x₁, x₂,..., x_p этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов степени £ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u²,..., uⁿ), есть (n + 1)-мepное подпространство пространства R всех многочленов.
Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории В. п. нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:
1) (х, у)=(у, х) (перестановочность);
2) (x₁ + x₂, y)=(x₁, y)+(x₂, y) (распределительное свойство);
3) (ax, у)= a(х, у),
4) (х, х) ³ 0 для любого х, причем (х, х) = 0 только для х = 0.
Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В. п., в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством. Длина |x| вектора x и угол